【電験2種 2次試験対策】自動制御の総合演習：ブロック線図から安定判別まで

これまでに学んだ「ブロック線図の簡略化」「伝達関数」「ラウスの安定判別法」のすべてを網羅した総合問題に挑戦しましょう。この一連の流れがスムーズに解ければ、二次試験の機械・制御科目は大きな得点源になります。

1. 【演習問題】

以下のフィードバック制御系について、各問いに答えてください。

・目標値（入力）： R(s)

・制御量（出力）： Y(s)

・前向き伝達関数 G(s) ＝ K / [ s (s + 1) ]

・フィードバック伝達関数 H(s) ＝ 1 （単位フィードバック）

（1）この制御系の閉ループ伝達関数 W(s) ＝ Y(s) / R(s) を求めてください。

（2）このシステムの特性方程式を求めてください。

（3）ゲイン K ＞ 0 とするとき、このシステムが安定であるための K の条件をラウスの安定判別法を用いて求めてください。

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2. 【ステップバイステップ解説】

（1）閉ループ伝達関数の導出

フィードバック結合の基本公式「前向き / (1 ＋ 一巡)」を使います。

$$W(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} = \frac{\frac{K}{s(s+1)}}{1 + \frac{K}{s(s+1)} \times 1}$$

分母と分子に s(s + 1) を掛けて整理します。

$$W(s) = \frac{K}{s(s+1) + K} = \frac{K}{s^2 + s + K}$$

（2）特性方程式の特定

特性方程式は、閉ループ伝達関数の分母をゼロとおいたものです。

$$s^2 + s + K = 0$$

（3）ラウスの安定判別法による条件算出

得られた特性方程式 $s^2 + s + K = 0$ に対して、ラウス配列を作成します。

1. 必要条件の確認：すべての係数（1, 1, K）が存在し、かつ正である必要があります。K ＞ 0 という条件はすでに問題文にありますので、この時点で「K ＞ 0 であれば必要条件は満たす」ことがわかります。
2. ラウス配列の作成：2次方程式なので非常にシンプルです。

次数	1列目	2列目
s^2	1	K
s^1	1
s^0	K

※ s^1 行の計算： (1 × 1 – 1 × 0) / 1 = 1

※ s^0 行の計算： (1 × K – 1 × 0) / 1 = K

3. 安定条件の判定：第1列の要素（1, 1, K）がすべて正であれば安定です。したがって、安定であるための条件は K ＞ 0 となります。

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3. 総括：2次試験での「自動制御」の立ち回り

今回の演習では2次方程式だったため、K ＞ 0 であれば常に安定という結果になりました。実際の試験ではこれが3次や4次の方程式になり、ラウス配列の途中に「 2 – K ＞ 0 」のような式が現れ、そこから「 K ＜ 2 」といった具体的な範囲を導き出すことになります。

自動制御問題の攻略手順：

1. ブロック線図をミスなく一つの式にまとめる（ここで間違えるとすべて終わります）。
2. 特性方程式を s の降べきの順に整理する。
3. ラウス配列を丁寧に作成し、1列目の符号変化（不等式）をチェックする。