一巡伝達関数が次のように与えられているフィードバック制御系があります。
$$G(s)H(s) = \frac{K}{j\omega + 1}$$
ただし、K = 2 とします。
（1）ω = 0 から ω→無限大 としたときのナイキスト線図を描いてください。
（2）この系のボード線図において、ゲインが 0dB となる周波数（ゲイン交差周波数）における位相を求めてください。
【ステップバイステップ解説】
（1）ナイキスト線図の描画
ナイキスト線図を描くには、複素数としての「大きさ（絶対値）」と「位相（角度）」の変化を追います。
一巡伝達関数にs=jω を代入し、実部と虚部に分けます。
$$G(j\omega)H(j\omega) = \frac{2}{1 + j\omega} = \frac{2(1 – j\omega)}{1 + \omega^2} = \frac{2}{1 + \omega^2} – j\frac{2\omega}{1 + \omega^2}$$
- ω＝0 のとき：実部 ＝2、虚部 ＝0。つまり点 （2，j0） からスタートします。
- ω＝1 のとき：実部 ＝1、虚部 ＝－1。位相は-45deg です。
- ω→無限大 のとき：実部 →0、虚部 →0。つまり原点（0，j0） に収束します。このとき、分母にjωが1つあるので、-90degの方向から原点に近づきます。
この軌跡は、点 (1, j0) を中心とする半径 1 の半円（第4象限）を描きます。点 (-1, j0) を包み込まないため、このシステムは安定であると判定できます。
（2）ボード線図とゲイン交差周波数
ボード線図の計算では、ゲイン特性 $$|G(j\omega)H(j\omega)|$$ をデシベル $$[dB]$$ で考えます。
1. ゲイン交差周波数 $\omega_c$ の算出
ゲインが 0 dB（すなわち倍率が 1）となる周波数を求めます。
$$|G(j\omega)H(j\omega)| = \frac{2}{\sqrt{1 + \omega^2}} = 1$$
両辺を2乗して整理します。
2. そのときの位相 φ の算出
伝達関数の位相角の式は $$\phi = -\arctan(\omega)$$
です。よって
$$\phi = -\arctan(\sqrt{3}) = -60 \text{ deg}$$
このシステムの位相余裕（PM）は、-180 deg に対してどれだけ余裕があるかを見ます。
$$PM = 180 + (-60) = 120 \text{ deg}$$
となり、非常に安定したシステムであることがわかります。
まとめ：周波数応答攻略のコツ
- ナイキスト線図：始点（ω＝0）と終点（ω→無限大）をまずプロットし、途中の代表的な点（ω=1/T など）を通るように滑らかに結ぶ。
- ボード線図：ゲインが 1 になる地点を探し、その時の位相が -180 deg よりどれだけ「上」にあるかを確認する。
この計算プロセスに慣れておけば、図示問題や安定余裕の計算で確実に得点できるようになります。
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