自動制御の目的は「出力を目標値にぴったり合わせること」ですが、現実のシステムでは、摩擦やシステム自体の特性によって、どうしても「わずかなズレ」が残ってしまうことがあります。時間が十分に経過してシステムが落ち着いた後（定常状態）に残っているこのズレが「定常偏差」です。
この定常偏差がゼロになるのか、一定値で残るのか、それとも無限大に発散してしまうのかは、システムの「型（積分器の数）」と「入力の種類」の組み合わせだけで完全に決まります。
1. 定常偏差を求める「最終値の定理」の展開
まずは数学的な定義からおさらいします。
目標値を R(s)、出力を Y(s) としたとき、その差である偏差 E(s) は以下のようになります。
E(s) = R(s) – Y(s)
一般的なフィードバック制御系において、Y(s) は E(s) に前向き伝達関数 G(s) を掛けたものとして表されるため（単位フィードバック H(s)=1 の場合）、式を整理すると偏差 E(s) は次のように求まります。
$$E(s) = \frac{1}{1 + G(s)} R(s)$$
私たちが知りたいのは、時間 t が無限大（∞）になったときの偏差 e(t) です。ここでラプラス変換の「最終値の定理」を使います。最終値の定理は、s の世界で s を掛けて s → 0 に極限を飛ばすだけで、t → ∞ の値がわかるという強力な定理です。
$$e_{ss} = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} \frac{s R(s)}{1 + G(s)}$$
この基本式に、システムの情報 G(s) と、入力の情報 R(s) を代入して極限を計算するのが、定常偏差問題のすべてです。
2. システムの「型」とは何か？
システムの特性を決めるのが、一巡伝達関数 G(s) の中に含まれる「 1/s （積分要素）」の数です。この 1/s がいくつ掛けられているかで、システムの「型」が決まります。
G(s) を因数分解したとき、分母に単独の s が何乗あるかを見ます。
・0型システム： 分母に単独の s がない。（積分要素なし）
・1型システム： 分母に s が1つある。（ 1/s が1つ）
・2型システム： 分母に s^2 がある。（ 1/s が2つ）
積分要素（ 1/s ）は、過去の偏差をどんどん足し合わせて（蓄積して）大きな操作量を作り出し、無理やりにでも目標値に合わせようとする働き（I制御）を持ちます。つまり、「型」の数字が大きいほど、ズレを修正する能力が高い優秀なシステムだと言えます。
3. 入力の種類（ステップ、ランプ、パラボラ）
次に、目標値 R(s) の種類です。制御したい対象が「位置」なのか「速度」なのか「加速度」なのかによって、入力の厳しさが変わります。
・ステップ入力（位置目標）： R(s) = A / s
ある一定の値（たとえば 5m の位置）にピタッと合わせる入力です。一番簡単な目標です。
・ランプ入力（速度目標）： R(s) = A / s^2
一定の速度で変化し続ける値（たとえば 時速50km で走り続ける）に合わせる入力です。時間とともに目標が逃げていくため、ステップ入力より追従が難しくなります。
・パラボラ入力（加速度目標）： R(s) = A / s^3
一定の加速度で変化し続ける値に合わせる入力です。非常に厳しい目標です。
4. 偏差定数と組み合わせマトリックス
定常偏差の計算を素早く行うために、「定常位置偏差定数 Kp」や「定常速度偏差定数 Kv」というものを定義します。
【ステップ入力（ A / s ）に対する定常位置偏差】
基本式に R(s) = A / s を代入すると、分子の s と分母の s が約分されて消えます。
$$e_{ss} = \frac{A}{1 + \lim_{s \to 0} G(s)}$$
ここで、Kp = lim(s→0) G(s) とおくと、定常位置偏差は A / (1 + Kp) となります。
・0型システムの場合： s=0 を入れても G(0) はある定数になるため、一定の偏差が残ります。
・1型以上のシステムの場合： G(s) の分母に s があるため、s=0 を入れると Kp は無限大（∞）になります。結果として偏差は 0（完全に追従）になります。
【ランプ入力（ A / s^2 ）に対する定常速度偏差】
基本式に R(s) = A / s^2 を代入すると、分母に s が1つ残ります。
$$e_{ss} = \frac{A}{\lim_{s \to 0} s G(s)}$$
ここで、Kv = lim(s→0) s G(s) とおくと、定常速度偏差は A / Kv となります。
・0型システムの場合： Kv は 0 になるため、偏差は無限大（A / 0）に発散し、追従できません。
・1型システムの場合： s G(s) によって分母の s が1つ約分されるため、Kv はある定数になり、一定の偏差が残ります。
・2型以上のシステムの場合： s G(s) を計算しても分母に s が残るため、Kv は無限大になり、偏差は 0 になります。
5. まとめ：定常偏差の法則
これらをまとめると、以下のような美しい法則が成り立ちます。
システムの型（能力）と、入力の厳しさが「同じレベル」のとき、一定の定常偏差が残ります。
・能力が上回っていれば、偏差はゼロ（完璧に追従）。
・能力が下回っていれば、偏差は無限大（制御不能で置いていかれる）。
試験で出題された際は、まず G(s) を見て「これは何型のシステムか？」を見極め、次に入力 R(s) を見て「ステップかランプか？」を確認します。それだけで、答えが「ゼロ」「一定値」「無限大」のどれになるか、計算する前に予測を立てることができます。
【補足】インパルス入力に対する定常偏差：一瞬の衝撃からシステムはどう回復するか？
ステップ入力（位置）、ランプ入力（速度）、パラボラ入力（加速度）と、時間とともに逃げていく入力を解説しましたが、もう一つ根本的な入力が「インパルス入力」です。
1. インパルス入力とは？
インパルス入力とは、時間 t=0 の瞬間にだけ無限大の大きさを持ち、それ以外の時間はゼロになる「一瞬の衝撃」のような入力です。ハンマーでコンと叩くようなイメージですね。
数学的にはディラックのデルタ関数 δ(t) で表され、そのラプラス変換は非常にシンプルになります。
R(s) = 1
（※大きさが A の場合は R(s) = A となります。今回は基本の 1 で考えます）
2. インパルス入力時の定常偏差の計算
この R(s) = 1 を、先ほどの定常偏差の基本式に当てはめてみましょう。
$$e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s R(s)}{1 + G(s)} = \lim_{s \to 0} \frac{s \times 1}{1 + G(s)}$$
この式に s → 0 を代入して極限をとります。
・0型システムの場合：
分母の G(0) はある定数 Kp になります。分子は s があるため 0 になります。
よって、 0 / (1 + Kp) = 0 となります。
・1型以上のシステムの場合：
分母の G(0) は無限大（∞）になります。分子は 0 です。
よって、 0 / ∞ = 0 となります。
3. 物理的な意味と結論
計算結果からわかる通り、システムが安定（ラウスやナイキストで判定済み）である限り、インパルス入力に対する定常偏差は「システムの型（0型、1型など）に関わらず、常にゼロ」になります。
これは物理的に考えると非常に理にかなっています。
インパルス入力は「最初の一瞬だけ目標値が跳ね上がり、あとはずっとゼロ」という指示です。安定したシステムであれば、叩かれた直後は揺れますが、時間が経てば必ず元の位置（ゼロ）に落ち着きます。目標値も最終的にはゼロなので、ズレ（偏差）は残りません。
入力の厳しさランキング
これで、すべての入力が出揃いました。目標値の「逃げ足の速さ（厳しさ）」でランキングをつけると以下のようになります。
レベル0：インパルス入力（ R(s) = 1 ）
すぐに止まる。どんな安定システムでも追従可能（偏差は常に0）。
レベル1：ステップ入力（ R(s) = 1/s ）
一定の場所に留まる。0型だと偏差が残る。1型以上で偏差0。
レベル2：ランプ入力（ R(s) = 1/s^2 ）
一定の速度で逃げ続ける。1型だと偏差が残る。0型は追いつけない（無限大）。
レベル3：パラボラ入力（ R(s) = 1/s^3 ）
加速しながら逃げ続ける。2型だと偏差が残る。1型以下は追いつけない（無限大）。
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